[Jeu] Maths, vous aimez les casses-têtes?

[DeletedUser]

Pour que les matheux du forum arrêtent de faire toujours dévier les sujets sur les maths... Les MATHETMATIQUES ! Toujours les MATHEMATIQUES !!!

Bon, j'inaugure avec ça :


Soient
a = 1
b = 1

a = b . . . . . . . . . . . . . . . par définition. . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a² = ab . . . . . . . . . . . . . .on multiplie par a
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a² - b² = ab - b² . . . . . . . . on soustrait b²
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(a + b)(a - b) = b(a - b). . . . on factorise. .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a+b = b . . . . . . . . . . . . . . on simplifie. .on retire le (a-b)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1+1 = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Donc 2 = 1

========​

Sinon, il y a aussi...

Soient
a = 3
b = 2
c = 1

a = b + c
On multiplie des deux côtés par (a - b)

a(a - b) = (b + c)(a - b)

a² - ab = ab - b² + ac - bc

On soustrait des deux côtés "ac"

a² - ab - ac = ab - b² - bc

a(a - b - c) = b(a - b -c)

En divisant par (a - b - c) :

a = b
3 = 2
Donc
2 = 1

==============
​

Soit x tel que :
x² + x + 1 = 0

x² = -x -1

On multiplie par x

x^3 = -x² -x

Si on remplace x² par (-x -1), on trouve

x^3 = -(-x-1) - x

x^3 = x+1-x = 1

x = 1

En remplaçant dans l'équation de départ, on trouve

1 + 1 + 1 = 0
3 = 0
En divisant par 3
1 = 0
Puis +1
1+1 = 1
2 = 1

====


Le problème avec ce genre de choses, c'est soit vous comprenez et vous trouvez l'erreur, et c'est pas marrant ; soit vous comprenez pas et là, c'est même pas la peine d'en parler ...

 

[DeletedUser]

Dans le 1er, tu ne peux pas simplifier puisque a-b=0
Pareil pour a-b-c=0

Ensuite pour X²=X-1, c'est X^3=-X²-X quand tu multiplies par X.

 

[DeletedUser]

Pour la troisième, oui je me suis trompé, en fait c'était autre chose que je voulais écrire. J'ai donc rectifié...

 

[DeletedUser]

Sinon, la solution de X²+x+1=0 est imaginaire, donc on ne peut pas avoir X=1

 

[DeletedUser]

Les solutions pardon...

 

[DeletedUser]

Qu'entends-tu par imaginaire ? La(les) solution(s) n'existe(nt) pas ?
Je veux bien l'explication du 3 les deux premiers j'avais trouvé par contre mais le 3 même en ayant la piste j'ai pas trouvé de justification qui m'ait semblé correcte =X

 

[DeletedUser]

Qu'entends-tu par imaginaire ? La(les) solution(s) n'existe(nt) pas ?
Je veux bien l'explication du 3 les deux premiers j'avais trouvé par contre mais le 3 même en ayant la piste j'ai pas trouvé de justification qui m'ait semblé correcte =X

Quand tu calcules le delta, b²-4ac, tu trouves 1²-4=-3 donc avec un delta négatif, les solutions sont alors dites imaginaires avec i dans l'expression (où i²=-1)

 

[DeletedUser]

On peut dire ça comme ça mais tout simplement tu peux dire que je suppose "Soit x un réel tel que" et puis j'en déduis des trucs, qui ne sont donc pas forcément vraies...

 

[DeletedUser]

Je vais me contenter de faire mes exercises de maths à l'école, pas sur ce forum^^

 

[DeletedUser8]

Ah, c'est quand même du domaine de la culture générale pour les matheux, ce genre de choses.

Soient
a = 1
b = 1

a = b
a² = ab
a² - b² = ab - b²
(a + b)(a - b) = b(a - b)
a+b = b
1+1 = 1
Donc 2 = 1

Divisions par 0 lors d'une simplification.

Sinon, il y a aussi...

Soient
a = 3
b = 2
c = 1
a = b + c
On multiplie des deux côtés par (a - b)
a(a - b) = (b + c)(a - b)
a² - ab = ab - b² + ac - bc
On soustrait des deux côtés "ac"
a² - ab - ac = ab - b² - bc
a(a - b - c) = b(a - b -c)
En divisant par (a - b - c) :
a = b
3 = 2
Donc
2 = 1

Pareil.

Soit x tel que :
x² + x + 1 = 0
x² = -x -1
On multiplie par x
x^3 = -x² -x
Si on remplace x² par (-x -1), on trouve
x^3 = -(-x-1) - x
x^3 = x+1-x = 1
x = 1
En remplaçant dans l'équation de départ, on trouve
1 + 1 + 1 = 0
3 = 0
En divisant par 3
1 = 0
Puis +1
1+1 = 1
2 = 1

Là, tu pars de l'hypothèse qu'un tel x existe. Tu prouves que s'il existe, alors x^3=1. Tu ne prouves pas que x existe.

De deux choses l'une :
- Ou bien tu travailles sur les réels, et x^3=1 => x=1. Alors, en remplaçant dans l'équation de départ, tu arrives à une incohérence. Cela prouve simplement qu'il n'y a pas de solution à l'équation.
- Ou bien tu travailles sur les complexes, et x^3=1 a alors trois solutions, les trois racines cubiques de l'unité généralement notées 1, j et "j barre" (ou j², vu que je peux pas écrire "j barre" ici, et que c'est la même chose), ou encore exp(2ikPi/3) avec i=0,1,2. Les nombres j et j² vérifient l'équation et sont donc des valeurs possibles de x, donc des solutions de l'équation. 1 ne vérifie pas plus l'équation qu'avant. On a montré que parmi les trois seules solutions possibles, j et j² étaient les deux qui vérifiaient l'équation. x^2+x+1=0 a donc pour ensemble de solutions {j,j²}.

 

[DeletedUser]

Je vois =X En fait non je ne vois pas mais en cherchant sur google ce que tu entendais par Delta j'ai eut de nouvelles raisons d'être mécontent du programme de maths chez les littéraires ( on l'a fini en même pas 6 mois avec un professeur attardé c'est pour dire ). De là à dire que je regrette de ne pas avoir fait S ... *hm* faut pas rêver ^^'

( *sort* ===> [] ).
( Sinon moi j'étais sur quelque chose du style " un carré est toujours positif " donc si X²+X+1 = 0 alors X<0 - pour commencer - ensuite X²+X = -1 et là j'ai un peu lâché pied en tournant en rond =X )
( Je penses que si je vous montrais de quoi est fait le programme des L vous en tomberiez à la renverse tellement c'est aberrant ... )

EDIT : Et mince Lay' s'est ramené c'est bon j'ai le cerveau en bouillie
( Non j'ai tout suivit sauf les complexes =/ )

 

[DeletedUser]

Layrajha a tout dit ...

 

[DeletedUser]

S'il n'avait pas tout dit ce ne serait plus le Layrajha qu'on connaît xD

 

[DeletedUser8]

Si tu veux un problème plus rigolo, prouvons par récurrence que tous les crayons d'une trousse sont toujours de la même couleur.

Prenons une trousse quelconque.

J'appelle P(n) la propriété "Pour tout groupe de n crayons de la trousse, ces n crayons sont de la même couleur".

P(1) est vrai trivialement (si on regarde un groupe qui ne contient qu'un seul crayon, alors tous les crayons de ce groupe sont de la même couleur).

Prouvons donc l'héritage de récurrence.
Soit n un entier. On suppose que P(n) est vrai. Montrons donc P(n+1).
C'est assez simple :
On sait que si on choisit n crayons, alors ils sont tous de la même couleur. On observe un groupe de n+1 crayons, et on veut montrer qu'ils sont tous de la même couleur. Il suffit pour cela de décomposer le groupe de n+1 crayons (appelons-les "crayon(1)", "crayon(2)", "crayon(3)",..., "crayon(n+1)") :
- On regarde le groupe de crayons "crayon(1)", "crayon(2)",..., "crayon(n)" (tous sauf le dernier). Puisque c'est un groupe de n crayons, par hypothèse de récurrence, ils sont tous de la même couleur.
- Il en est de même pour le groupe de tous les crayons sauf le premier.
Or, il y a des crayons communs à ces deux sous-groupes (par exemple "crayon(2)"). Ainsi, tous les n+1 crayons sont de la même couleur : celle de "crayon(2)".

On a montré de P(n) => P(n+1). On a aussi montré P(0). On en déduit donc que P(1) est vrai, ainsi que P(2), P(3), etc pour tout entier, en particulier pour le nombre de crayon de la trousse.

Tous les crayons de la trousse sont donc de la même couleur.

 

[DeletedUser]

LoL
Layrajha honte sur toi c'est du programme de 1ère L ça ^.^ Ton principe de récurrence étant bizarrement très proche des suites x)

 

[DeletedUser8]

Layrajha honte sur toi c'est du programme de 1ère L ça ^.^

Vous avez vu cet exemple de preuve qui ne marche pas en 1ere L ? (je viens quand même de prouver que si tu as un crayon rouge dans une trousse, tu n'as pas de crayon bleu dedans, et que donc mettre un crayon rouge dans une trousse transforme les crayons bleus en crayons rouges, ou les fait disparaître de la trousse)

J'ai vu ça en 1ere année de prépa maths, je crois. C'est compréhensible avant, hein, mais que ce soit de la culture générale en 1ere L, ça m'étonne un peu

 

[DeletedUser]

Disons que c'est compréhensible pour moi qui suis en 1èreL mais côté compréhension j'ai le même niveau qu'un S ... ( Je ne penses pas que quelqu'un d'autre de ma classe aurait comprit ton explication sans détails et exemples approfondis sauf une ou deux fille ptète x_x' ).
Sinon je généralisais un petit peu on a vu une version simplifiée de ta démonstration on va dire ^^ ( Très simplifié car sinon c'est notre prof. qui suit plus et c'est à moi de le reprendre et vu qu'il aime pas ça ... XD )

 

[DeletedUser8]

Je te laisse donc expliquer ce qui est faux dans la preuve

 

[DeletedUser]

mettre un crayon rouge dans une trousse transforme les crayons bleus en crayons rouges, ou les fait disparaître de la trousse

Si tu donnes la réponse ... =)
En français ce genre de formule serait considérer comme un " syllogisme ", apparence logique pour résultat illogique ^^. Enfin je penses que tu connais =)
Enfin concernant ton problème je ne suis pas sûr de ma réponse ( t'attends pas à une réponse sûre et définitive de la part d'un L ^^ ) mais je penses en effet que, partant de l'hypothèse que c'est vrai, tu omet la possibilité que cela ne le soit pas or il suffirait, comme tu l'as dis à juste titre, qu'il n'y ait qu'un seul crayon pour que ta propriété soit valable, au mieux, que pour N+1-x ( x = le nombre de crayons de couleurs différentes ) en supposant que dans tous les groupes N+1 précédents il n'y ait eut aucun crayon de couleur différente ( par -mal-chance ) ^^'

Ou alors je suis complètement à l'ouest et je vais me prendre une rédaction de 3.47 paragraphes en me démontrant :
a) que ma théorie ne tient pas la route
b) que je suis stupide ( mais le petit A l'introduisait déjà bien ^^ )
c) que c'est autre chose =P

Donc avant d'avoir la réponse je pars me perdre quelques temps dans un igloo en Alaska

 

[DeletedUser8]

Non, le principe de raisonnement par récurrence est bien écrit.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Raisonnement_par_récurrence

La formule qui décrit l'axiome du raisonnement par récurrence est la suivante :

P y désigne une propriété (elle est modélisée ici par l'ensemble des entiers pour lesquels elle est vraie : par exemple, la propriété P définie par P(n) = "n est pair" sera modélisée par l'ensemble des entiers pairs, qui est l'ensemble des entiers n tels que P(n) est vraie). Bref, la partie "∀P⊆ℕ" signifie "Pour toute propriété P qui porte sur des entiers".

La suite est la partie intéressante. On voit que si la parenthèse de gauche est vraie, alors la parenthèse de droite l'est.

La parenthèse de gauche est donc l'hypothèse de l'axiome, et celle de droite est la conclusion. La conclusion est simple : elle dit que P(n) est vraie pour tout n. Essayons donc de comprendre l'hypothèse (la parenthèse de gauche).

Le symbole "∧" veut dire "ET". La parenthèse de gauche est donc composée de deux hypothèses.

La première de ces deux hypothèses est "P(0)". On demande donc à ce que P(0) soit vraie. C'est l'initialisation de la récurrence.

La deuxième parenthèse est "l'héritage de récurrence". Elle dit que "∀n∈ℕ" (c'est à dire "pour tout entier n"), si P est vraie en n, alors P est vraie en n+1.



Dans ma démonstration, j'ai bien utilisé ces deux hypothèses pour atteindre la conclusion.



Pour illustrer rapidement quand même l'idée du principe de récurrence, en partant de l'hypothèse que P(0) est vraie et que si P(n) est vraie, alors P(n+1) est vraie aussi (pour tout n), on prend n=0 dans la deuxième hypothèse : comme P(0) est vraie (première hypothèse), P(1) est vraie aussi.
Du coup, on peut continuer en prenant n=1 dans la deuxième hypothèse, ce qui montre P(2). On peut continuer ainsi infiniment.


Bref, le raisonnement par récurrence, c'est quelque chose qui marche. La preuve cloche, mais ailleurs